Temario I

Este año el tema principal de las 25 preguntas nuevas del examen versará sobre Aristarco de Samos, quien para muchos fue el geómetra más audaz de la antigua Grecia. Se le recuerda no tanto por haber demostrado teoremas complicados, sino por haber propuesto el modelo heliocéntrico casi dos mil años antes que Copérnico.

Su propuesta no era una simple ocurrencia para contrariar a los seguidores de Aristóteles que consideraban a la Tierra como el centro del Universo. De hecho, Aristarco mismo hizo sus mediciones pensando en el modelo geocéntrico, el único que existía en su tiempo. Tal vez muy a su pesar tuvo que oponerse al modelo de Aristóteles, pero no le quedaba otra alternativa dadas sus mediciones del tamaño de la Luna y del Sol y de sus distancias a la Tierra.

En forma implícita el modelo geocéntrico supone que la Tierra es más grande que la Luna y el Sol. De hecho, si nos atenemos solamente al tamaño aparente que tienen en el cielo no podemos conocer sus dimensiones reales. Y es que el tamaño aparente de cualquier objeto cambia con la distancia a la que se encuentre. Una Luna y un Sol mucho más pequeños de los reales pero a menor distancia los veríamos en el cielo igual que a los reales.

La creatividad de Aristarco tenía que concentrarse en cómo calcular las dimensiones reales de la Luna y el Sol tomando en cuenta la distancia a la que se encuentran. El problema era que tampoco se sabía la distancia a la que se encuentran. De ahí la audacia de Aristarco: intentar medir lo que nadie había medido porque no se podía medir. ¿Cómo lo hizo?

Esto es lo que queremos transmitir en esta olimpiada, que muchos problemas que parecen imposibles terminan por resolverse con ingeniosas combinaciones de razonamientos y observaciones. Lo más impresionante de este caso es que Aristarco resolvió sus problemas con no más matemáticas que las que se enseñan actualmente en secundaria y a lo más en preparatoria.

Veamos lo que hizo.

  • En un eclipse de Luna midió el tiempo que tarda la Luna desde que se inicia el eclipse hasta el momento en que la Luna termina por entrar en la sombra de la Tierra. O lo que es lo mismo, al terminar el eclipse, el tiempo que tarda desde que empieza a salir hasta que sale completamente de la sombra. En ese lapso de tiempo, razonó Aristarco, la Luna avanzó en el cielo su propio diámetro.

    Enseguida imaginó la circunferencia completa de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra como compuesta de muchas lunas colocadas una al lado de la otra, como cubrir un círculo con monedas colocadas una al lado de la otra. ¿Cuántas lunas caben en la circunferencia que describe Luna?

    Astutamente Aristarco traslada el problema a una comparación de tiempos. ¿Cuántos lapsos de tiempo de un diámetro caben en los 30 días que le toma a la Luna darle una vuelta completa a la Tierra? Conociendo la circunferencia de la órbita se puede calcular su radio, el cual no es otra cosa que la distancia de la Tierra a la Luna.

    Al parecer el problema de calcular la distancia a la Luna está resuelto pero no es así. Podemos calcular esta distancia pero sólo como un número multiplicado por el diámetro de la Luna.

  • ¿Y cuánto mide el diámetro de la Luna? Aristarco nos dice que volvamos al eclipse y midamos el tiempo que permanece la Luna completamente dentro de la sombra de la Tierra. Resulta que este tiempo es el doble del que le toma a la Luna desplazarse una distancia igual a su propio diámetro.

    Esto quiere decir que la Luna cabe dos veces en la sombra de la Tierra. Si se considera que la sombra de la Tierra tiene forma de cilindro con diámetro igual al de la Tierra, entonces el diámetro de la Luna es igual a la mitad del de la Tierra.

  • ¿Y cuánto mide el diámetro de la Tierra? Esta medición la realizó Eratóstenes más o menos en la misma época. Busquen cómo hizo Eratóstenes para medirlo. Su resultado está muy cercano al que se conoce actualmente, y lo calculó midiendo solamente el ángulo de una sombra y la distancia entre dos ciudades separadas por varios cientos de kilómetros.

    Entiendan bien la fórmula que utilizó Eratóstenes porque se les podría pedir que la apliquen a dos ciudades de la Península de Baja California.

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